Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）設(shè)M為棱CC₁的點(diǎn)，且滿足BM⊥B₁D，求證：平面AB₁D⊥平面ABM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明A₁C∥平面AB₁D；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可．

解答 證明：（1）記A₁B∩AB₁=O，連接OD．
∵四邊形AA₁B₁B為矩形，∴O是A₁B的中點(diǎn)，
又∵D是BC的中點(diǎn)，∴A₁C∥OD．…2分
又∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．…6分
注意：條件“A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D”少寫一個(gè)扣除2分，兩個(gè)都不寫本小步4分扣完！
（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．…8分
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
或利用CC₁⊥平面ABC證明AD⊥平面BB₁C₁C．…10分
∵BM?平面BB₁C₁C，∴AD⊥BM．…12分
又∵BM⊥B₁D，AD∩B₁D=D，AD，B₁D?平面AB₁D，
∴BM⊥平面AB₁D．
又∵BM?平面ABM，
∴平面AB₁D⊥平面ABM． …14分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線面平行和面面垂直的判定，根據(jù)平行和垂直的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．