Question

5．函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，則$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得m、n的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式求解即可．

解答 解：：∵x=-2時(shí)，y=log_a1-1=-1，
∴函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即2m+n=2，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$（2m+n）（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{2m}{n}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$
∴則$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．