Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax，g（x）=（m-2）x²+（m-1）x+1．（其中e=2.718…）
（1）若f（x）在x=ln2處導(dǎo)數(shù)為0，求f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)a=e時，存在x₀∈（-1，0）使得f（x₀）=g（x₀），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)為0，求得a，進(jìn)而得到切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到切線的方程；
（2）運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，解不等式即可得到m的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-e^-x+a，
則f′（ln2）=-e^-ln2+a=0，
解得a=$\frac{1}{2}$，
即有f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
切點(diǎn)為（0，1），
即有f（x）在（0，f（0））處的切線方程為y=-$\frac{1}{2}$x+1；
（2）當(dāng)a=e時，存在x₀∈（-1，0）使得f（x₀）=g（x₀），
即有h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$+ex-（m-2）x²+（m-1）x+1在（-1，0）有解，
由零點(diǎn)存在定理，可得，h（-1）h（0）＜0，
即為2（4-2m）＜0，
解得m＞2．
則m的取值范圍是（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查函數(shù)零點(diǎn)存在定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．