Question

13．已知f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$（a，b，c∈Z）是奇函數(shù)，且f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求a，b，c的值；
（2）當x∈（0，+∞）時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）為奇函數(shù)便得到f（-1）=-f（1），這樣可求出c=0，而根據(jù)f（1）=2，f（2）＜3便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}=2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$，而根據(jù)a，b∈Z即可求出a=1，b=1；
（2）先寫出$f（x）=x+\frac{1}{x}$，根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞0，然后作差，通分，提取公因式便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$，可以判斷x₁-x₂＞0，從而可以看出x₁，x₂∈（0，1）時，f（x₁）＜f（x₂），而x₁，x₂∈（1，+∞）時，f（x₁）＞f（x₂），這樣即可得出f（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{a+1}{-b+c}=-\frac{a+1}{b+c}$；
∴-b+c=-b-c；
∴c=0；
又f（1）=2，f（2）＜3；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}=2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$；
解得-1＜a＜2，a∈Z；
∴a=0，或1；
a=0時，b=$\frac{1}{2}$，a=1時，b=1；
∵b∈Z；
∴a=1，b=1，c=0；
（2）$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$；
設(shè)x₁＞x₂＞0，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂；
∴x₁-x₂＞0；
∴①x₁，x₂∈（0，1）時，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＜0$；
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
②x₁，x₂∈（1，+∞）時，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查奇函數(shù)的定義，注意條件a，b∈Z的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義討論一個函數(shù)的單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后為分式的一般要通分，一般需提取公因式x₁-x₂．