Question

18．設(shè)拋物線C：y²=x與直線l交于A，B兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)O），以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)O．
（Ⅰ）求證：直線l過定點(diǎn)．
（Ⅱ）求△OAB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)l方程為x=ty+m與拋物線方程聯(lián)立得y²-ty-m=0，利用以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出直線l過定點(diǎn)．
（Ⅱ）△OAB面積為$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|，即可求△OAB面積的最小值．

解答 （Ⅰ）證明：設(shè)l方程為x=ty+m聯(lián)立y²=x得y²-ty-m=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則y₁+y₂=t，y₁y₂=-m
∴x₁x₂=m²
∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-m=0，∴m=1，
∴直線l過定點(diǎn)（1，0）．
（Ⅱ）解：設(shè)C（1，0），則
△OAB面積為$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
∴t=0時，△OAB面積的最小值為1．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查恒過定點(diǎn)問題，考查三角形面積的計算，注意挖掘題目隱含，將問題等價轉(zhuǎn)化．