Question

9．已知點P（x₀，y₀）為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$上的任意一點（長軸的端點除外），F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點，其中a，b為常數(shù)．

（1）若點P在橢圓的短軸端點位置時，△PF₁F₂為直角三角形，求橢圓的離心率．
（2）求證：直線$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$為橢圓在點P處的切線方程；
（3）過橢圓的右準(zhǔn)線上任意一點R作橢圓的兩條切線，切點分別為S、T．請判斷直線ST是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過定點，求出定點坐標(biāo)，若不經(jīng)過定點，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)點P在橢圓的短軸端點位置時，△PF₁F₂為直角三角形，求出a，c關(guān)系式，得到離心率．
（2）點P（x₀，y₀）推出$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$．把（x₀，y₀）代入切線方程方程得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，聯(lián)列方程組$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1}\end{array}}\right.$，求解即可．
（3）由題可設(shè)S（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）、$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$．得到切線SR的方程為$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$，
切線TR的方程為$\frac{x_2}{a^2}x+\frac{y_2}{b^2}y=1$，把$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$分別代入兩個方程化簡，推出點S（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）、F₂（c，0）三點共線，然后求解定點坐標(biāo)．

解答 解：記$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}$．
（1）當(dāng)點P在橢圓的短軸端點位置時，△PF₁F₂為直角三角形，

則有$a=\sqrt{2}c$，得$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
所以，此時橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…4'
（2）點P（x₀，y₀）在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$．
把（x₀，y₀）代入方程$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$，得$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，
所以點P（x₀，y₀）在直線$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$上，…6'
聯(lián)列方程組$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}\\{\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1}\end{array}}\right.$，消去y可得${a^2}{x^2}-2{a^2}{x_0}x+{a^2}x_0^2=0$，
解得x=x₀，即方程組只有唯一解．
所以，直線$\frac{x_0}{a^2}x+\frac{y_0}{b^2}y=1$為橢圓在點P處的切線方程…10'
（3）由題可設(shè)S（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）、$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$．
由（2）結(jié)論可知，切線SR的方程為$\frac{x_1}{a^2}x+\frac{y_1}{b^2}y=1$①
切線TR的方程為$\frac{x_2}{a^2}x+\frac{y_2}{b^2}y=1$②…12'
把$R（\frac{a^2}{c}，{y_3}）$分別代入方程①、②，可得$\frac{x_1}{c}+\frac{y_1}{b^2}{y_3}=1$③

和$\frac{x_2}{c}+\frac{y_2}{b^2}{y_3}=1$④
由③、④兩式，消去y₃，可得（x₁-c）y₂=（x₂-c）y₁，
即有（x₁-c）（y₂-0）=（x₂-c）（y₁-0），
所以，點S（x₁，y₁）、T（x₂，y₂）、F₂（c，0）三點共線，
所以，直線ST經(jīng)過定點，定點坐標(biāo)為${F_2}（\sqrt{{a^2}-{b^2}}，0）$…16'

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的切線方程的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．