Question

6．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求$f（\frac{π}{8}）$的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若關(guān)于x的方程f（x）-a=0（a∈R）在區(qū)間$（0，\;\frac{π}{2}）$內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，記t=acos（x₁+x₂），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，代入即可求值．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，\;\;k∈Z$可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（Ⅲ）由題意可得命題等價(jià)于直線y=a與曲線$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$（$0＜x＜\frac{π}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)$0＜x＜\frac{π}{2}$時(shí)，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可解得$1＜a＜\sqrt{2}$，由于函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{π}{8}$對(duì)稱，即${x_1}+{x_2}=\frac{π}{4}$，從而求得$cos（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即可得解．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+cos2x（1分）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，（2分）
∴$f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．（4分）
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}，\;\;k∈Z$．
得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$（6分）
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$得$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$，（8分）
∴f（x）在區(qū)間$[kπ-\frac{3π}{8}，\;\;kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）上是遞增函數(shù)f（x）在區(qū)間$[kπ+\frac{π}{8}，\;\;kπ+\frac{5π}{8}]$（k∈Z）是單調(diào)遞減函數(shù)．（9分）
（Ⅲ）方程f（x）-a=0在區(qū)間$（0，\frac{π}{2}）$內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根x₁，x₂（x₁＜x₂）等價(jià)于
直線y=a與曲線$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$（$0＜x＜\frac{π}{2}$）有兩個(gè)交點(diǎn)．
∵當(dāng)$0＜x＜\frac{π}{2}$時(shí)，由（Ⅱ）知$f（x）=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$在$（{0，\;\;\frac{π}{8}}]$上是增函數(shù)，
在$[{\frac{π}{8}，\;\;\frac{π}{2}\;}）$上是減函數(shù)，（10分）
且$f（0）=1，\;\;f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}，\;\;f（\frac{π}{2}）=-1$，
∴$1＜a＜\sqrt{2}$（11分）
∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于$x=\frac{π}{8}$對(duì)稱，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{π}{4}$，
∴$cos（{{x_1}+{x_2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，（13分）
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\;\;1）$．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的正弦公式的應(yīng)用，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．