Question

6．判斷函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析 根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，然后作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}}$-$\sqrt{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}}+\sqrt{{x}_{2}}}$；
又因為x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}}$+$\sqrt{{x}_{2}}$＞0；
于是f（x₁）-f（x₂）＜0；
即f（x₁）＜f（x₂）；
所以函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}$在[0，+∞）上是增函數(shù)．

點評 考查單調(diào)性的定義，以及根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與過程．