Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）在R上是偶函數(shù)，在（-∞，0）上遞增，且有f（2a²+a+1）＜f（-3a²+2a-1），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 方法一：先研究函數(shù)在[0，+∞）的單調(diào)性，再比較2a²+a+1與3a²-2a+1的大小，取值范圍看兩者是不是在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，本題比較發(fā)現(xiàn)兩者在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，利用單調(diào)性直接比較．
方法二：比較兩數(shù)2a²+a+1與3a²-2a+1的大小，看到兩者不在已知單調(diào)性的區(qū)間上，故利用偶函數(shù)的性質(zhì)把其轉(zhuǎn)化到對(duì)稱的區(qū)間上來比較大小，進(jìn)而再得到兩者的函數(shù)值的大�。�

解答 解：∵f（x）在R上是偶函數(shù)，
∴f（-3a²+2a-1）=f（3a²-2a+1），
即不等式f（2a²+a+1）＜f（-3a²+2a-1），等價(jià)為f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1），
∵$2{a^2}+a+1=2{（a+\frac{1}{4}）^2}+\frac{7}{8}≥\frac{7}{8}$
$3{a^2}-2a+1=3{（a-\frac{1}{3}）^2}+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}（4分）$
f（x）定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間（-∞，0]上遞增，
因此函數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減（6分），
又f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
2a²+a+1＞3a²-2a+1，（10分）
∴a²-3a＜0，
∴0＜a＜3．（12分）
法2：$2{a^2}+a+1=2{（a+\frac{1}{4}）^2}+\frac{7}{8}≥\frac{7}{8}$
$3{a^2}-2a+1=3{（a-\frac{1}{3}）^2}+\frac{2}{3}≥\frac{2}{3}（4分）$
又f（x）定義在R上的偶函數(shù)，且
f（2a²+a+1）＜f（3a²-2a+1）
∴f（-2a²-a-1）＜f（-3a²+2a-1）（6分）
又f（x）在區(qū)間（-∞，0]上遞增
∴-2a²-a-1＜-3a²+2a-1（10分）
∴a²-3a＜0∴0＜a＜3．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，本題中兩個(gè)數(shù)是抽象的數(shù)，需要用配方法來確定它們的取值范圍，這給作題增加一定的難度，兩個(gè)方法在利用偶函數(shù)的性質(zhì)上采取的技巧不同．