Question

19．某生態(tài)農(nóng)莊池塘的平面圖為矩形ABCD，已知AB=4，BC=10，E為AD上一點(diǎn)，且AE=2，P為池塘內(nèi)一臨時(shí)�？奎c(diǎn)，且P到AB，BC的距離均為3，EC，EB為池塘上浮橋，為了固定浮橋，現(xiàn)準(zhǔn)備進(jìn)過(guò)臨時(shí)停靠點(diǎn)P再架設(shè)一座浮橋MN，其中M，N分別是浮橋EC，EB上點(diǎn)．（浮橋?qū)挾�、池塘岸邊寬度不�?jì)），設(shè)EM=d，
（1）當(dāng)d為何值時(shí)，P為浮橋MN的中點(diǎn)？
（2）怎樣架設(shè)浮橋MN才能使得△EMN面積最小，求出面積最小時(shí)d的值？

Answer 1

分析 （1）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為y軸，過(guò)E垂直于AD的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線EC，EB的方程，設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用P為MN 中點(diǎn)求出m，n即可．
（2）利用P在MN上得到斜率相等，從而得到關(guān)于m，n的等式，借助于基本不等式求mn的最小值．

解答 解：（1）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為y軸，過(guò)E垂直于AD的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
則C（4，8），B（4，-2），P（1，1）
∴EC：y=2x    EB：y=$-\frac{1}{2}$x，
∴EC⊥EB
設(shè)M（m，2m），N（2n，n），（m＞0，n＞0）
∵P為MN的中點(diǎn)
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=2}\\{2m-n=2}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1.2}\\{n=0.4}\end{array}\right.$     此時(shí)M（1.2，2.4），d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
答：當(dāng)d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$時(shí)，P為浮橋MN中點(diǎn)．…（7分）
（2）∵k_PM=k_PN
∴$\frac{2m-1}{m-1}=\frac{-n-1}{2n-1}$
∴m+3n=5mn（$\frac{2}{3}≤m≤4$，$\frac{4}{17}≤n≤2$）
∵EC⊥EB
∴${S}_{△EMN}=\frac{1}{2}$EM•EN=$\frac{5}{2}$mn
∵m+3n=5mn$≥2\sqrt{3mn}$當(dāng)且僅當(dāng)m=3n=1.2時(shí)取等號(hào)，
∴mn$≥\frac{12}{25}$．
∴${S}_{△EMN}=\frac{5}{2}mn$≥1.2，此時(shí)d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．…（14分）
答：當(dāng)d=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$時(shí)，三角形EMN面積最小，最小為1.2．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程、直線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題、基本不等式的運(yùn)用求最值；關(guān)鍵是適當(dāng)?shù)慕�立坐�?biāo)系，使問(wèn)題坐標(biāo)化．