Question

14．若x＞0，y＞0且x+2y=xy，則x+2y的最小值為8．

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，可得x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）=4+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0且x+2y=xy，
∴$\frac{x+2y}{xy}$=1，即$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{y}$+$\frac{2}{x}$）
=4+$\frac{x}{y}$+$\frac{4y}{x}$≥4+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{4y}{x}}$=8
當且僅當$\frac{x}{y}$=$\frac{4y}{x}$即x=4且y=2時取等號，
故答案為：8

點評 本題考查基本不等式求最值，正確變形是解決問題的關鍵，屬中檔題．