Question

9．函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$的最小值是$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 將函數(shù)化為y=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$）+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$，注意運(yùn)用基本不等式和二次函數(shù)的最值，同時(shí)注意最小值取得時(shí)，x的取值要一致，即可得到所求最小值．

解答 解：函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+3}}{{\sqrt{{x^2}+2}}}$=$\frac{{x}^{2}+2+1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
=（$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$）+$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$
≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$+$\frac{1}{2}\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{2}$$\sqrt{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，即有x=0，取得等號．
則函數(shù)的最小值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意求最值的條件：一正二定三等，屬于中檔題和易錯(cuò)題．