新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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7. 已知關(guān)于x的方程$x2 - mx+(m - 2)=0$．
(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
(2)若方程有一個根是2，求m的值以及方程的另一個根．
答案：(1) 判別式$\Delta = m2 - 4(m - 2)=m2 - 4m + 8=(m - 2)2 + 4$，因為$(m - 2)2≥0$，所以$(m - 2)2 + 4＞0$，即不論m為何值，該方程總有兩個不相等的實數(shù)根。
(2) 把$x = 2$代入方程得$4 - 2m + m - 2 = 0$，解得$m = 2$，原方程為$x2 - 2x = 0$，$x(x - 2)=0$，解得$x? = 2$，$x? = 0$，所以方程的另一個根為0。
1. 如圖2-2，一根木棍OE垂直平分柱子AB，$AB = 200$cm，$OE = 260$cm，一只小貓C由柱子底端A點以2 cm/s的速度沿柱子AB向頂端B點爬行，同時，另一只小貓D由點O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，小貓C爬到頂端B點后，停止爬行，小貓D也隨之停止爬行．問：是否存在某一時刻，使以這兩只小貓所在位置與點O為頂點的三角形的面積是1800 cm2？(小貓的位置可視為一點)
答案：存在，設(shè)t秒時，兩只小貓所在位置與點O為頂點的三角形的面積是1800 cm2。小貓C爬行的距離為$2t$ cm，因為OE垂直平分AB，所以AO = 100 cm，OC = |100 - 2t| cm（當(dāng)$t≤50$時，C在AO之間，OC = 100 - 2t；當(dāng)$t＞50$時，C在OB之間，OC = 2t - 100），小貓D爬行的距離為$3t$ cm，OD = 3t cm。三角形面積為$\frac{1}{2}×OD×OC = 1800$，當(dāng)$t≤50$時，$\frac{1}{2}×3t×(100 - 2t)=1800$，整理得$t2 - 50t + 600 = 0$，解得$t? = 20$，$t? = 30$；當(dāng)$t＞50$時，$\frac{1}{2}×3t×(2t - 100)=1800$，整理得$t2 - 50t - 600 = 0$，解得$t? = 60$，$t? = -10$（舍去）。小貓C爬到頂端B點需要$\frac{200}{2}=100$秒，t=20、30、60均小于100，所以存在時刻，t=20秒、30秒或60秒時滿足條件。
2. 龍華天虹商場以120元/件的價格購進(jìn)一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應(yīng)將每件上衣的售價降低多少元？
答案：設(shè)應(yīng)將每件上衣的售價降低x元，每件利潤為$(200 - 120 - x)=(80 - x)$元，每降價5元多售出20件，降價x元多售出$\frac{x}{5}×20 = 4x$件，銷售量為$(100 + 4x)$件。根據(jù)利潤=（每件利潤×銷售量）-固定成本，可得$(80 - x)(100 + 4x)-3000 = 8000$，整理得$-4x2 + 220x + 5000 = 8000$，$4x2 - 220x + 3000 = 0$，$x2 - 55x + 750 = 0$，解得$x? = 25$，$x? = 30$。為盡快減少庫存，選擇較大的降價幅度，$x = 30$，即應(yīng)將每件上衣的售價降低30元。
