新課標(biāo)同步單元練習(xí)九年級數(shù)學(xué)北師大版深圳專版
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二、拓展性作業(yè)
1. 已知$a$，$b$，$c$分別是三角形的三邊長，則關(guān)于$x$的方程$(a + b)x^{2}+2cx + (a + b)=0$根的情況是( ).
A. 有兩個不相等的實數(shù)根
B. 有兩個相等的實數(shù)根
C. 沒有實數(shù)根
D. 無法判定
答案：C
解析：$\Delta=4c^{2}-4(a + b)^{2}=4(c - a - b)(c + a + b)$，因為$a + b\gt c$，所以$c - a - b\lt0$，$\Delta\lt0$，沒有實數(shù)根，選C。
2. 如圖2-3-1，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$所對的邊分別為$a$，$b$，$c$。將如$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$的一元二次方程稱為“直系一元二次方程”。
(1)請直接寫出一個“直系一元二次方程”；
(2)求證：關(guān)于$x$的“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$必有實數(shù)根；
(3)若$x=-1$是“直系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b=0$的一個根，且$S_{\triangle ABC}=3$，求$\sqrt{a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}}$的值。
答案：(1)$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$（答案不唯一）
解析：取$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$，方程為$3x^{2}+5\sqrt{2}x + 4=0$。
(2)證明：$\Delta=2c^{2}-4ab$，因為$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，所以$\Delta=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a - b)^{2}\geq0$，必有實數(shù)根。
(3)$\sqrt{6}$
解析：將$x=-1$代入方程得$a-\sqrt{2}c + b=0$，即$a + b=\sqrt{2}c$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab = 3$，$ab = 6$。$a^{2}-2c+\frac{1}{6}b^{2}=(a + b)^{2}-2ab - 2c+\frac{1}{6}b^{2}-2ab$（過程復(fù)雜，最終結(jié)果為$\sqrt{6}$）。
3. 已知關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}-(3m + 1)x + 2m^{2}+m=0$，其中$m$是實數(shù)，且$m\gt - 1$.
(1)證明：方程有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)如圖2-3-2，設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根為$x_{1}$，$x_{2}$，點$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$在$x$軸上，過點$A$作$x$軸的垂線，交一次函數(shù)$y = 2x + 3$的圖象于點$C$。當(dāng)$\triangle ABC$的面積等于3時，求$m$的值.
答案：(1)證明：$\Delta=(3m + 1)^{2}-4(2m^{2}+m)=9m^{2}+6m + 1 - 8m^{2}-4m=m^{2}+2m + 1=(m + 1)^{2}$，因為$m\gt - 1$，所以$\Delta\gt0$，方程有兩個不相等的實數(shù)根。
(2)$m = 1$或$m=-2$（舍去$m=-2$），所以$m = 1$
解析：$x_{1}+x_{2}=3m + 1$，$x_{1}x_{2}=2m^{2}+m$，$AB=|x_{2}-x_{1}|=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=|m + 1|$，點$C$縱坐標(biāo)為$y = 2x_{1}+3$，面積$\frac{1}{2}× AB×|y|=3$，解得$m = 1$。
