Question

5．如圖，四邊形ABCD是矩形，將一塊正方形紙板OEFG如圖1擺放，它的頂點O與矩形ABCD的對角線交點重合，點A在正方形的邊OG上，現(xiàn)將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B在OG邊上時，停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中OG交AB于點M，OE交AD于點N．
（1）開始旋轉(zhuǎn)前，即在圖1中，連接NC．
①求證：NC=NA（M）；
②若圖1中NA（M）=4，DN=2，請求出線段CD的長度．
（2）在圖2（點B在OG上）中，請問DN、AN、CD這三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由．
（3）試探究圖3中AN、DN、AM、BM這四條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的對角線互相平分和正方形的內(nèi)角都是直角，用線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，②用勾股定理計算即可；
（2）和（1）一樣得到NB=ND，在用勾股定理即可；
（3）先判斷出BM=DH，再和前兩個一樣，得出MN=NH，再用勾股定理即可．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵四邊形EFGO為正方形，
∴∠EOG=90°，
∴NC=NA；
②由①得，NA=NC=4，DN=2，
根據(jù)勾股定理得CD²=NC²-ND²，
∴CD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$；
（2）結(jié)論：NB²=NA²+CD²，
如圖1，

連接NB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵四邊形EFGO為正方形，
∴∠EOG=90°，
∴ND=NB；
根據(jù)勾股定理得，NB²=NA²+AB²=NA²+CD²，
（3）結(jié)論AN²+AM²=DN²+BM²，
如圖2，

延長GO交CD于H，連接MN，HN，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∠OBM=∠ODH，
∵∠BOM=∠DOH，
∴△BOM≌△DOH，
∴BM=DH，OM=OH
∵四邊形EFGO是正方形，
∴∠EOG=90°，
∴MN=MH，在Rt△NDH中，
NH²=DN²+DH²=DN²+BM²，
在Rt△AMN中，MN²=AM²+AN²，
∴DN²+BM²=AM²+AN²．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形和矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是線段垂直平分線的性質(zhì)定理得應(yīng)用．