Question

4．（1）如圖①，△ABC中，點(diǎn)D、E在邊BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C=40°，∠B=60°，求：①∠CAE的度數(shù)；②∠DAE的度數(shù)．
（2）如圖②，若把（1）中的條件“AD⊥BC”變成“F為AE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且FD⊥BC”，其他條件不變，求出∠DFE的度數(shù)．
（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F為EA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC，且∠C=α，∠B=β（β＞α），試猜想∠DFE的度數(shù)（用α，β表示），請(qǐng)自己作出對(duì)應(yīng)圖形并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，求出∠BAD，∠BAE，根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD即可解決問題．
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．利用（1）中結(jié)論，再證明∠DFE=∠HAE即可．
（3）結(jié)論：∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．由∠HAE=∠EAB-∠BAH，∠BAH=90°-∠B，∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）推出∠HAE=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），由AH∥FD，推出∠DFE=∠HAE，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖（1）．

∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-60°=30°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-40°=80°，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°；

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．

由（1）可知∠HAE=10°，
∵AH∥EF，
∴∠DFE=∠HAE=10°

（3）結(jié)論：∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．理由如下：
如圖3中，作AH⊥BC于H，F(xiàn)D⊥BC于D．

∵∠HAE=∠EAB-∠BAH，∠BAH=90°-∠B，∠BAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠HAE=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$∠C-（90°-∠B）
=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．三角形內(nèi)角和主要用在求三角形中角的度數(shù)．也考查了三角形外角性質(zhì)．