Question

9．如圖，已知AD是等邊△ABC的角平分線(xiàn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，且AD=6，BD=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)M是AD上一動(dòng)點(diǎn)，求△BEM的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 連接CE，則CE的長(zhǎng)度即為ME與MB和的最小值，那么CE+BE的和就是△BEM的周長(zhǎng)的最小值．

解答 解：如圖，連接CE，與AD交于點(diǎn)M，此時(shí)ME+MB最小，
∵△ABC是等邊三角形，AD是等邊△ABC的角平分線(xiàn)，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴MC=MB，
∴ME+MB=MC+ME=CE，
即CE就是ME+MB的最小值，
∵AD=6，BD=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=2BD=4$\sqrt{3}$
∵點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，
∴∠BEC=90°，BE=2$\sqrt{3}$，BE=AD=6，
∴△BEM的周長(zhǎng)的最小值是6+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是最短線(xiàn)路問(wèn)題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．