Question

17．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，∠ADC與∠BAD的平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，且AF⊥DE，垂足為G
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AB=4，AD=6，求CF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由垂線(xiàn)的定義得出∠DAF+∠ADE=90°，由角平分線(xiàn)得出∠BAD+∠ADC=180°，證出AB∥CD，由AB=CD，即可證出四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）由平行線(xiàn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)證出∠BAF=∠AFB，得出BF=AB=4；同理：CE=CD=4，求出EF的長(zhǎng)，即可得出CF的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AF⊥DE，
∴∠DAF+∠ADE=90°，
∵∠ADC與∠BAD的平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)E、F，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠DAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB=4，BC=AD=6，AD∥CB，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴BF=AB=4；
同理：CE=CD=4．
∴EF=BF+CE-BC═4+4-6=2，
∴CF=CE-EF=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．