Question

20．如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，過A任作一直線與⊙O₁交于M，與⊙O₂交于N，問什么時(shí)候MN最長？為什么？

Answer 1

分析 結(jié)論：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，MN最長，過A任作一直線與⊙O₁交于M₁，與⊙O₂交于N₁，連接BM、BN、BM₁、BN₁，先證明△MBN∽△M₁BN₁，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，即可解決問題．

解答 解：結(jié)論：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A、B，當(dāng)MN⊥AB時(shí)，MN最長．
過A任作一直線與⊙O₁交于M₁，與⊙O₂交于N₁，連接BM、BN、BM₁、BN₁，
∵∠M=∠M₁，∠N=∠N₁，
∴△MBN∽△M₁BN₁，
∴$\frac{MN}{{M}_{1}{N}_{1}}$=$\frac{BN}{B{N}_{1}}$，
∴BN最大時(shí)，MN最大，
∴當(dāng)BN是直徑時(shí)，MN最大，
∴∠BAN=90°，
∴MN⊥AB時(shí)，MN最長．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相交兩個(gè)圓的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，利用直徑是最長的弦解決問題．