Question

15．如圖1，在△OAB中，OA邊在x軸上，已知∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，8）．D是OB的中點(diǎn)，AD=$\frac{1}{2}BO$，連接AD并延長(zhǎng)交OC于E．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：四邊形ABCE是平行四邊形；
（3）如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求直線AG的解析式．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)解直角三角形找出線段OA、AB的長(zhǎng)度，即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）利用平行線的性質(zhì)找出“∠ABD=∠EOD，∠BAD=∠OED”，再由中點(diǎn)的定義找出OD=BD，從而可知證出△BAD≌△OED，由此即可得出OE=AB=4，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出AB=CE，利用平行四邊形的判定定理即可得出結(jié)論．
（3）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，m），直線AG的解析式為y=kx+m．由折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，再由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在Rt△OAB中，OB=8，∠OAB=90°，∠AOB=30°，
∴AB=OB•sin∠AOB=8×$\frac{1}{2}$=4，OA=OB•cos∠AOB=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，4）．
（2）證明：∵AB⊥x軸，EO⊥x軸，
∴AB∥OE，
∴∠ABD=∠EOD，∠BAD=∠OED．
∵D是OB的中點(diǎn)，
∴OD=BD．
在△BAD和△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EOD}\\{∠BAD=∠OED}\\{OD=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△OED（AAS）．
∴OE=AB=4．
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，8），
∴CE=OC-OE=8-4=4=AB．
又∵CE∥AB，
∴四邊形ABCE是平行四邊形．
（3）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，m），直線AG的解析式為y=kx+m．
依題意可得：（8-m）²=m²+$（4\sqrt{3}）^{2}$，
解得：m=1．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，1）．
∵OA=4$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4$\sqrt{3}$，0）．
將點(diǎn)A（4$\sqrt{3}$，0）代入到y(tǒng)=kx+1中，
得：0=4$\sqrt{3}$k+1，
解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
∴直線AG的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{12}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、勾股定理、解一元二次方程以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出線段AB、OA的長(zhǎng)；（2）證出CE=AB；（3）求出點(diǎn)G的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過(guò)證全等三角形得出相等的線段，再根據(jù)邊的關(guān)系找出相等的對(duì)邊是關(guān)鍵．