Question

9．如圖1，在直角坐標系xoy中，直線l與x、y軸分別交于點A（4，0）、B（0，$\frac{16}{3}$）兩點，∠BAO的角平分線交y軸于點D．點C為直線l上一點，以AC為直徑的⊙G經(jīng)過點D，且與x軸交于另一點E．
（1）求證：y軸是⊙G的切線；
（2）請求⊙G的半徑r，并直接寫出點C的坐標；
（3）如圖2，若點F為⊙G上的一點，連接AF，且滿足∠FEA=45°，請求出EF的長？

Answer 1

分析 （1）要證明y軸是⊙G的切線，只需要連接GD后證明GD⊥OB即可．
（2）由（1）可知GD∥OA，則△BDG∽△BOA，設半徑為r后，利用對應邊的比相等列方程即可求出半徑r的值．
（3）由于∠FEA=45°，所以可以連接CE、CF構造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以過點A作AH⊥EF，然后利用垂徑定理即可求出EF的長度．

解答 解：（1）連接GD，
∵∠OAB的角平分線交y軸于點D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD為半徑，
∴y軸是⊙G的切線；

（2）∵A（4，0），B（0，$\frac{16}{3}$），
∴OA=4，OB=$\frac{16}{3}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=$\frac{20}{3}$，
設半徑GD=r，則BG=$\frac{20}{3}$-r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴$\frac{DG}{OA}$=$\frac{BG}{AB}$，
∴$\frac{20}{3}$r=4（$\frac{20}{3}$-r），
∴r=$\frac{5}{2}$；
∴C的坐標為（1，4）；

（3）過點A作AH⊥EF于H，連接CE、CF，
∵AC是直徑，
∴AC=2×$\frac{5}{2}$=5
∴∠AEC=∠AFC=90°
∵∠FEA=45°
∴∠FCA=45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF=CF=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
設OE=a
∴AE=4-a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴$\frac{AE}{OA}$=$\frac{CE}{OB}$
∴CE=$\frac{4}{3}（4-a）$
∵CE²+AE²=AC²，
∴$\frac{16}{9}$（4-a）²+（4-a）²=25
∴a=1或a=7（不合題意，舍去）
∴AE=3
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH=EH=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH²=AF²-AH²=$（\frac{5}{2}\sqrt{2}）^{2}$-$（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}$=8，
∴FH=2$\sqrt{2}$，
∴EF=EH+FH=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$．

點評 此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定、相似三角形的判定與性質、勾股定理的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來，靈活運用．