Question

12．如圖，在10×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AB、線段EF的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．

（1）在圖中以AB為邊畫Rt△ABC，點(diǎn)C在小正方形的格點(diǎn)上，使∠BAC=90°，且tan∠ACB=$\frac{2}{3}$；
（2）在（1）的條件下，在圖中畫以EF為邊且面積為3的△DEF，點(diǎn)D在小正方形的格點(diǎn)上，使∠CBD=45°，連接CD，直接寫出線段CD的長．

Answer 1

分析 （1）如圖，作∠BAC=90°，且邊AC=3$\sqrt{2}$，才能滿足條件；
（2）作DE=2，連接DF，則△DEF是以EF為邊且面積為3的三角形，連接BD，CD，則∠CBD=45°．

解答 解：（1）如圖，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
AC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴AB²+AC²=（2$\sqrt{2}$）²+（3$\sqrt{2}$）²=26，
BC²=（$\sqrt{26}$）²=26，
∴AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2}{3}$；
（2）如圖，∵S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×3=3，
∵BC=$\sqrt{26}$，CD=$\sqrt{{5}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{26}$，BD=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$，
∴BC²+CD²=52，BD²=52，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠CBD=45°，
∴CD=$\sqrt{26}$．

點(diǎn)評 本題是三角形的作圖題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和判定及勾股定理及其逆定理的運(yùn)用，并按條件作出三角形；本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理及其逆定理．