Question

4．如圖①，在矩形ABCD中，AB=9．AD=12．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位長度的速度沿A-D-C-B-A運(yùn)動(dòng)一周到點(diǎn)A停止．當(dāng)點(diǎn)P不與矩形ABCD的頂點(diǎn)重合時(shí)，過點(diǎn)P作直線PQ⊥AP，與矩形的邊的另一交點(diǎn)為Q．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）連結(jié)PC，當(dāng)t=2時(shí)，△PCQ的面積為27．
（2）設(shè)QC的長為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段QC的長是否有最大值？若有，求出其最大值．
（4）在點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，另有一個(gè)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)以每秒4個(gè)單位長度的速度沿A-B-A運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PH、HQ，如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上時(shí)，直接寫出△PHQ為等腰三角形時(shí)t的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面積公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•QC•PQ計(jì)算即可．
（2）分四種情形①當(dāng)0＜t＜4時(shí)②當(dāng)4＜t＜7時(shí)③當(dāng)7＜t＜11時(shí)④當(dāng)11＜t＜14時(shí)，分別畫出圖形利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
（3）利用配方法根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解決即可．
（4）①當(dāng)0＜t＜$\frac{9}{4}$時(shí)②當(dāng)$\frac{9}{4}$≤t≤4時(shí)分別根據(jù)三種情形利用勾股定理列出方程解決．

解答 （1）解：t=2時(shí)，AP=3×2=6，
∵四邊形ABCD 是矩形，
∴AD=BC=12，AB=CD=6，∠D=∠C=90°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQC=∠C=∠D=90°，
∴四邊形CDPQ矩形，
∴PD=CQ=AD-AP=6，PQ=CD=9，
∴S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•QC•PQ=$\frac{1}{2}$×6×9=27．
故答案為27．
（2）①當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如圖1中，

y=12-3t．
②當(dāng)4＜t＜7時(shí)，如圖2中，

∵∠APD+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠APD=∠PQC，∵∠D=∠C=90°，
∴△APD∽△PQC，
∴$\frac{QC}{PD}$=$\frac{PC}{AD}$
∴$\frac{y}{3t-12}$=$\frac{21-3t}{12}$，
∴y=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{33}{4}$t-21．
③當(dāng)7＜t＜11時(shí)，如圖3中，

同理可證△PQC∽△APB，
∴$\frac{QC}{PB}$=$\frac{PC}{AB}$，
∴$\frac{y}{33-3t}$=$\frac{3t-21}{9}$，
∴y=-t²+18t-77．
④當(dāng)11＜t＜14時(shí)，如圖4中，

QC=PB，y=3t-33．
綜上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{12-3t}&{（0＜t＜4）}\\{-\frac{3}{4}{t}^{2}+\frac{33}{4}t-21}&{（4＜t＜7）}\\{-{t}^{2}+18t-77}&{（7＜t＜11）}\\{3t-33}&{（11＜t＜14）}\end{array}\right.$．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在邊CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，QC的長有最大值．
∵11＜t＜14，y=-t²+18t-77=-（t-9）²+4，
∴t=9時(shí)，y最大值=4．
（4）如圖5中，

①當(dāng)0＜t＜$\frac{9}{4}$時(shí)，∵PA=3t．AH=4t，HB=9-4t，
如果PH=HQ，那么AH=BH，4t=$\frac{9}{2}$，t=$\frac{9}{8}$，
如果PH=PQ=9，那么PH²=PA²+AH²，9²=（3t）²+（4t）²，t=$\frac{9}{5}$，
如果PQ=QH，那么QH²=BH²+BQ²，9²=（3t）²+（9-4t）²，t=$\frac{72}{25}$（不合題意舍棄）．
當(dāng)$\frac{9}{4}$≤t≤4時(shí)，BH=4t-9，AH=18-4t，
如果PH=HQ，那么AH=BH，4t=9+$\frac{9}{2}$，t=$\frac{27}{8}$，
如果PH=PQ=9，那么PH²=PA²+AH²，9²=（3t）²+（18-4t）²，方程無解．
如果PQ=QH，那么QH²=BH²+BQ²，9²=（3t）²+（4t-9）²，t=$\frac{72}{25}$．
綜上所述t=$\frac{9}{8}$或$\frac{9}{5}$或$\frac{72}{25}$或$\frac{27}{8}$時(shí)，△PHQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)、分段函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)分類討論，需要正確畫出圖形，注意不能漏解，題目有點(diǎn)難度，屬于中考?jí)狠S題．