Question

12．如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC、BC邊上分別截取CD=CE，連結(jié)DE．將△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，連結(jié)BE、AD．
（1）當(dāng)0°＜θ＜90°時(shí)，如圖②，直線(xiàn)BE交直線(xiàn)AD于點(diǎn)F．
①求證：△ACD≌△BCE．
②求證：AF⊥BE．
（2）當(dāng)0°＜θ＜360°，AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時(shí)，直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和已知，運(yùn)用SAS證明即可；②由問(wèn)題原型中的結(jié)論：△ACE≌△BCE得出∠BFO=∠ACB，結(jié)合等量代換進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用CD∥BE結(jié)合初步探究中的結(jié)論，可證CD⊥AF，結(jié)合勾股定理即可求解．

解答 解：（1）①如圖②，

∵△DCE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，
∴∠ACD=∠BCE=θ，
又∵AC=BC，CD=CE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE；
②如圖②，設(shè)AF與BC交點(diǎn)于O，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAC=∠EBC，
∵∠AOC=∠BOF，
∴∠BFO=∠ACB=90°，
∴AF⊥BE；
（2）如圖③，

∵AC=5，CD=3，四邊形CDFE是正方形時(shí)，
∵AD⊥CD，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}=4$，
∴AF=4+3=7，
如圖4，

∴AF=4-3=1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)，熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，會(huì)證明三角形全等，并應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)解決角的問(wèn)題，會(huì)運(yùn)用勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．