Question

16．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=20cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從點A開始，沿AD邊，以2cm/秒的速度向點D運動；動點Q從點C開始，沿CB邊，以3cm/秒的速度向B點運動．已知P、Q兩點分別從A、C同時出發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．假設運動時間為t秒，問：
（1）是否存在某一時刻t，使四邊形PQCD是平行四邊形？存在，求出t值；不存在請說明理由．
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形PQCD是直角梯形？存在，求出t值；不存在請說明理由．
（3）在某個時刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）存在，根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形列出方程，解方程即可；
（2）存在，當APQB為矩形時，四邊形PDQC為直角梯形，即AP=BQ；
（3）四邊形PQCD不可能是菱形，根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行計算，比較鄰邊的長度得到答案．

解答 解：（1）存在；
如圖1，當PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，

即20-2t=3t，
解得，t=4，
故當t=4時，四邊形PQCD為平行四邊形；
（2）存在；
如圖2，當AP=BQ時，四邊形PQCD為直角梯形，

即2t=26-3t
解得：t=5.2，
故當t=5.2時，四邊形PQCD為直角梯形；
（3）四邊形PQCD不可能是菱形，
如圖3，作DE⊥BC于E，

則四邊形ABED為矩形，
∴DE=AB=8，EC=2，
∴CD=$\sqrt{D{E}^{2}+C{E}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
若四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD是平行四邊形，
根據（1）得：t=4s，
∴PD=20-8=12（cm），
∴PD≠CD，
∴四邊形PQCD不可能是菱形．

點評 本題考查的是直角梯形和矩形的性質以及平行四邊形、菱形的判定，掌握對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、鄰邊相等的平行四邊形是菱形是就的關鍵．