Question

20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²-2mx+m-4（m≠0）的頂點(diǎn)為A，與x軸交于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若BC=4，
①求拋物線的解析式；
②將拋物線在C，D之間的部分記為圖象G（包含C，D兩點(diǎn)）．若過點(diǎn)A的直線y=kx+b（k≠0）與圖象G有兩個交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把一般式配成頂點(diǎn)式即可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）已知BC=4，由（1）可知拋物線對稱軸為x=1，所以可知B點(diǎn)坐標(biāo)，將其代入拋物線方程可求得m的值，于是得到拋物線解析式；
②由m=1即可得到B（-1，0），C（3，0），再求出D（0，-3），畫出拋物線，通過畫圖可得當(dāng)k＞0時(shí)，直線y=kx+b過A、C時(shí)，k最大；當(dāng)k＜0，直線y=kx+b過A、D時(shí)，k最大，然后分別求出兩直線解析式即可得到k的范圍．

解答 解：（1）y=mx²-2mx+m-4=m（x-1）²-4，
所以拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-4）；

（2）①∵BC=4，拋物線的對稱軸為x=1，點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（3，0），
將B（-1，0）代入y=m（x-1）²-4，得：0=4m-4，解得m=1
所以拋物線的解析式為y=（x-1）²-4=x²-2x-3；

②B（-1，0），C（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=x²-2x-3=-3，則D（0，-3），如圖，
當(dāng)直線y=kx+b過A、C時(shí)，直線解析式為y=2x-6；
當(dāng)直線y=kx+b過A、D時(shí)，直線解析式為y=-x-3，
所以若過點(diǎn)A的直線y=kx+b（k≠0）與圖象G有兩個交點(diǎn)，k的取值范圍為0＜k≤2或-1≤k＜0．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)．