Question

12．如圖，AB為半圓O的直徑，CD切⊙O于點(diǎn)E，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對(duì)于下列結(jié)論：①OD²=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S_梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°；⑥若切點(diǎn)E在半圓上運(yùn)動(dòng)（A、B兩點(diǎn)除外），則線段AD與BC的積為定值．其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 5
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角，且利用切線長(zhǎng)定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項(xiàng)②正確；由AD=ED，OD為公共邊，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個(gè)角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項(xiàng)①正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得比例可得出OD²=DE•CD，選項(xiàng)⑤正確；由△ODE∽△OEC，$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，得到OD≠OC，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；根據(jù)射影定理即可得到AD•BC=OE²，于是得到線段AD與BC的積為定值，故⑥正確．

解答 解：連接OE，如圖所示：
∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，選項(xiàng)②正確；
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=CD•OA；選項(xiàng)④正確；
在Rt△ADO和Rt△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OD}\\{DA=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∵∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項(xiàng)⑤正確；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴$\frac{OD}{CD}$=$\frac{DE}{OD}$，即OD²=DC•DE，選項(xiàng)①正確；
同理△ODE∽△OEC，
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{DE}{OE}$，
∴OD≠OC，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
∵∠COD=90°，OE⊥CD，
∴OE²=CE•DE，
∵DA=DE，CE=CB，
∴AD•BC=OE²，
∴線段AD與BC的積為定值，故⑥正確．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．