Question

9．已知：在梯形ABCD中．AD∥BC，∠ABC=90°，∠BDC=90°，BC=2AD，E，F(xiàn)分別是BC、DC的中點(diǎn)．連接AE、EF、AC，連接BD，交AE于點(diǎn)G．
求證：四邊形EFDG是正方形．

Answer 1

分析 欲證明四邊形EFDG是正方形，只需證得四邊形EFDG是矩形，然后推知GD=DE，即可得四邊形EFDG是正方形．

解答 證明：連接DE，
∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE∥DC，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
又∠BDC=90°，
∴四邊形EFDG是矩形．
∵AD∥BE且AD=BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵∠ABE=90°，
∴平行四邊形ABED是矩形，
∴AE=BD，
∴GD=GE，
∴平行四邊形EFDG是正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．