Question

15．如圖，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，6），以A為頂點(diǎn)的拋物線交x軸于B點(diǎn)，其中 點(diǎn)B在x軸正半軸上，連接AB，以 AB為邊作矩形ABCD交y軸于點(diǎn)C（按順時(shí)針方向標(biāo)記），矩形ABCD隨著點(diǎn)B位置的變化而隨之相應(yīng)變化．
（1）若矩形ABCD為正方形，求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在點(diǎn)B位置變化的過程中，點(diǎn)D的落點(diǎn)在（1）中的拋物線上嗎？如果在，請證明；如果不在，請說明理由；并求出OD的最小值；
（3）若點(diǎn)M（-3，-3）落在矩形ABCD的邊AD上，求出D點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)可求得B（6，0），設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+6，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得可求得a的值，從而得到拋物線的坐標(biāo)；
（2）如圖1所示：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0）a＞0．然后依據(jù)待定系數(shù)法求得AB的解析式（含a的式子），然后再依據(jù)待定系數(shù)法求得BC的解析式（含a的式子），于是可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-$\frac{{a}^{2}}{6}$），接下來，證明△ADE≌△CBO，可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可證明點(diǎn)D在拋物線上；
（3）先求得直線AM的解析式，然后由點(diǎn)D在AM上，可設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，3a+6），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6求得a的值，從而可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠CAB=45°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=45°．
∴OA=OB．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+6．
∵將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得36a+6=0，解得：a=-$\frac{1}{6}$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+6．
（2）如圖1所示：過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E．

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，0）a＞0．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+6．
∵將B（a，0）代入拋物線的解析式得：ak+6=0，解得；k=-$\frac{6}{a}$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{6}{a}$x+6．
∵BC⊥AB，
∴直線BC的一次項(xiàng)系數(shù)為$\frac{a}{6}$．
設(shè)直線BC的解析式為y=$\frac{a}{6}$x+c．
∵將點(diǎn)B的坐標(biāo)（a，0）代入得：$\frac{{a}^{2}}{6}$+c=0，解得：c=$-\frac{{a}^{2}}{6}$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{a}{6}x$-$\frac{{a}^{2}}{6}$．
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=-$\frac{{a}^{2}}{6}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-$\frac{{a}^{2}}{6}$）．
∵ABCD為矩形，
∴AD=BC，AD∥BC．
∴∠DAE=∠BCO．
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°．
在△ADE和△CBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠BCO}\\{∠DEA=∠BOC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴DE=OB，OC=AE．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-a，6-$\frac{{a}^{2}}{6}$）．
∵將x=-a代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6得：y=$-\frac{1}{6}$a²+6，
∴點(diǎn)D在拋物線y=-$\frac{1}{6}$x²+6上．
（3）設(shè)AM的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A、M的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{-3k+b=-3}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=6，
∴直線AM的解析式為y=3x+6．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（a，3a+6），將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入y=-$\frac{1}{6}$x²+6得：-$\frac{1}{6}$a²+6=3a+6，
解得：a=-18，a=0（舍去）．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-18，-48）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的解析式，點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，明確相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)的乘積為-1是解題的關(guān)鍵．