Question

12．如圖，四邊形ABCD中，AC=AD，2∠ABD+∠CBD=180°，BC=4，tanACB=$\frac{4}{7}$，△ABD的面積為20，則AD長為$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 如圖作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．首先證明△ACE≌△ADF，推出CE=DF，∠ACE=∠ADF，設(shè)AE=AF=4x，想辦法列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖作AE⊥CB于E，AF⊥BD于F．

∵2∠ABD+∠CBD=180°，∠CBD+∠ABD+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ABF，
∴AE=AF，
在Rt△ACE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，∠ACE=∠ADF，設(shè)AE=AF=4x，
∵∠tan∠ACE=tan∠ADF=$\frac{4}{7}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{DF}$=$\frac{4}{7}$，
∴CE=DF=7x，BE=BF=7x-4，
∵S_△ABD=20，
∴$\frac{1}{2}$（7x+7x-4）•4x=20，
∴x=1或-$\frac{5}{7}$（舍棄），
∴AD=$\sqrt{A{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
故答案為$\sqrt{65}$．

點(diǎn)評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型．