Question

11．如圖1，一次函數(shù)y=kx-3（k≠0）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B（4，b）．
（1）b=1；k=1；
（2）點(diǎn)C是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交這個(gè)反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，求△OCD面積的最大值；
（3）將（2）中面積取得最大值的△OCD沿射線AB方向平移一定的距離，得到△O′C′D′，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′落在該反比例函數(shù)圖象上（如圖2），則點(diǎn)D′的坐標(biāo)是（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出b值，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中即可求出k值；
（2）設(shè)C（m，m-3）（0＜m＜4），則D（m，$\frac{4}{m}$），根據(jù)三角形的面積即可得出S_△OCD關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，通過配方即可得出△OCD面積的最大值；
（3）由（1）（2）可知一次函數(shù)的解析式以及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C′（a，a-3），根據(jù)平移的性質(zhì)找出點(diǎn)O′、D′的坐標(biāo)，由點(diǎn)O′在反比例函數(shù)圖象上即可得出關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，將其代入點(diǎn)D′的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把B（4，b）代入y=$\frac{4}{x}$（x＞0）中得：b=$\frac{4}{4}$=1，
∴B（4，1），
把B（4，1）代入y=kx-3得：1=4k-3，解得：k=1，
故答案為：1，1；
（2）設(shè)C（m，m-3）（0＜m＜4），則D（m，$\frac{4}{m}$），
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$m（$\frac{4}{m}$-m+3）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2=-$\frac{1}{2}$$（m-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{25}{8}$，
∵0＜m＜4，-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△OCD面積取最大值，最大值為$\frac{25}{8}$；
（3）由（1）知一次函數(shù)的解析式為y=x-3，
由（2）知C（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）、D（$\frac{3}{2}$，$\frac{8}{3}$）．
設(shè)C′（a，a-3），則O′（a-$\frac{3}{2}$，a-$\frac{3}{2}$），D′（a，a+$\frac{7}{6}$），
∵點(diǎn)O′在反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴a-$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{a-\frac{3}{2}}$，解得：a=$\frac{7}{2}$或a=-$\frac{1}{2}$（舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)a=$\frac{7}{2}$是方程a-$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{a-\frac{3}{2}}$的解．
∴點(diǎn)D′的坐標(biāo)是（$\frac{7}{2}$，$\frac{14}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）找出S_△OCD關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（3）找出關(guān)于a的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．