Question

5．探究：如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD、CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由．
應(yīng)用：如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為$\sqrt{107}$cm．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；
（2）在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）BD=CE．
理由是：∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE；

（2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC．
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD，
∴BD=CE．
∵AE=AB=7，
∴BE=$\sqrt{{7}^{2}+{7}^{2}}$=7$\sqrt{2}$，∠AEC=∠AEB=45°，
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=$\sqrt{B{E}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（7\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{107}$，
∴BD=CE=$\sqrt{107}$．
故答案為：$\sqrt{107}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．