Question

如圖1，Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，點(diǎn)A、B分別在OC、OD上，且AB∥DC．將△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接AC、BD，若OA=1，AD=

2

，AC=2，求∠DAO的度數(shù)及點(diǎn)A到OC的高．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：在如圖①中，利用OC=OD，AB∥DC得到△OAB為等腰直角三角形，則OA=OB=1，AB=

2

OA=

2

，∠OAB=45°；在如圖②中，由于∠AOB=∠COD=90°，OA=OB，OC=OD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，可把△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BOD，則BD=AC=2，則可根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，于是得到∠DAO=∠DAB+∠OAB=135°；作OH⊥DA于H，如圖②，易得△AOH為等腰直角三角形，則AH=OH=

2

2

OA=

2

2

，再在Rt△ODH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OD=

5

，所以O(shè)C=OD=

5

，然后利用S_△BDO+S_△DAO=S_△ABD+S_△OAB可計(jì)算出S_△BDO=1，則S_△OAC=1，最后根據(jù)三角形面積公式可求出點(diǎn)A到OC的高．

解答：解：如圖①，∵Rt△OCD中，∠COD=90°，OC=OD，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∵AB∥DC，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴OA=OB=1，AB=

2

OA=

2

，∠OAB=45°；
∵△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②，
∴∠AOB=∠COD=90°，
而OA=OB，OC=OD，
∴把△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BOD，
∴BD=AC=2，
在△ABD中，∵AD=

2

，AB=

2

，BD=2，
∴AD²+AB²=BD²，
∴△ABD為直角三角形，∠BAD=90°，
∴∠DAO=∠DAB+∠OAB=135°；
作OH⊥DA于H，如圖②，
∵∠OAH=180°-∠DAO=45°，
∴△AOH為等腰直角三角形，
∴AH=OH=

2

2

OA=

2

2

，
在Rt△ODH中，∵OH=

2

2

，DH=DA+OH=

3 2

2

，
∴OD=

OH2+DH2

=

5

，
∴OC=OD=

5

，
∵S_△BDO+S_△DAO=S_△ABD+S_△OAB，
∴S_△BDO+

1

2

•

2

•

2

2

=

1

2

•

2

•

2

+

1

2

•1•1，
∴S_△BDO=1，
∵△OBD≌△OAC，
∴S_△OAC=1，
設(shè)點(diǎn)A到OC的高為h，則

1

2

•h•

5

=1，
解得h=

2 5

5

，
∴∠DAO的度數(shù)為135°，點(diǎn)A到OC的高為

2 5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．