Question

如圖所示，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函數(shù)y=

9

x

（x＞0）的圖象上，△OP₁A₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n…都是等腰直角三角形，斜邊OA₁，A₁A₂…A_n-1A_n，都在x軸上，
（1）求P₁的坐標．
（2）求A₂的坐標．
（3）直接寫出A_n的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）如圖，過點P₁作P₁M⊥x軸，由△OP₁A₁為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到P₁M=OM=MA₁，設P₁的坐標是（a，a），a＞0，代入反比例解析式求出a的值，即可確定出P₁的坐標；
（2）如圖，過點P₂作P₂N⊥x軸，根據(jù)OM+A₁M求出OA₁的長，確定出A₁的坐標，再由△P₂A₁A₂為等腰直角三角形，設P₂的縱坐標為b，則P₂橫坐標為6+b，代入反比例解析式求出b的長，即可確定出A₂的坐標；
（3）同理確定出A₃，A₄的坐標，歸納總結(jié)得到A_n的坐標即可．

解答：解：（1）如圖，過點P₁作P₁M⊥x軸，
∵△OP₁A₁是等腰直角三角形，
∴P₁M=OM=MA₁，
設P₁的坐標是（a，a），a＞0，
把（a，a）代入解析式y(tǒng)=

9

x

（x＞0）中，得a=3，
則P₁的坐標是（3，3）；
（2）如圖，過點P₂作P₂N⊥x軸，
∵OM=MA₁=3，
∴OA₁=6，即A₁的坐標是（6，0），
∵△P₂A₁A₂為等腰直角三角形，
∴P₂N=A₁N=A₂N，
設P₂的縱坐標為b，則P₂橫坐標為6+b，
把（6+b，b）代入函數(shù)解析式得：b=

9

6+b

，
解得：b=6

2

-3，
∴A₂的橫坐標為6+2b=6+6

2

-6=6

2

，
則A₂的坐標為（6

2

，0）；
（3）同（2）中的方法得到A₃（6

3

，0），A₄（6

4

，0），
歸納總結(jié)得：A_n的橫坐標是6

n

．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．