Question

7．如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，∠B=60°，∠C=45°，AC=6．
（1）求AD的長；（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內角和可得∠DAC=45°，根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，然后再根據(jù)勾股定理可計算出AD的長；
（2）根據(jù)三角形內角和可得∠BAD=30°，再根據(jù)直角三角形的性質可得AB=2BD，然后利用勾股定理計算出BD的長，進而可得BC的長，然后利用三角形的面積公式計算即可．

解答 解：（1）∵∠C=45°，AD是△ABC的邊BC上的高，
∴∠DAC=45°，
∴AD=CD，
∵AC²=AD²+CD²，
∴6²=2AD²，
∴AD=3$\sqrt{2}$；

（2）在Rt△ADB中，∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴AB=2BD，
∵AB²=BD²+AD²，
∴（2BD）²=BD²+AD²，
3BD²=18，
BD=$\sqrt{6}$，
∴△ABC的面積：$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$（BD+DC）•AD=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$）×$3\sqrt{2}$=9+3$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了三角形內角和，以及勾股定理的應用，關鍵是掌握直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．