Question

16．如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F，連接CF．
（1）求證：CF=2AE；
（2）若S_△ABE=2cm²，求四邊形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AAS證△AFE≌△DBE，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AF=BD，利用有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形和中點的定義證得結(jié)論；
（2）得出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得出CD=AD，根據(jù)正方形的判定推出即可．

解答 （1）證明：∵AF∥BC，
∴∠1=∠2，
∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線，
∴AE=DE，BD=CD，
在△AFE和△DBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠3=∠4}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴AF=BD，
∵DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF∥BC，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴CF=AD=2AE；
（2）∵點E為AD的中點，
∴S_△ABD=2S_△ABE=4cm²，
∵AD為△ABC的中線，
∴S_△ADC=S_△ABD=4cm²，
∵四邊形ADCF是平行四邊形，
∴四邊形ADCF的面積=2S_△ADC=8cm²．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，等高三角形的面積比等于底邊比、等底等高的三角形面積是平行四邊形面積的2倍的應(yīng)用，綜合性較強．