Question

2．已知，如圖1，D是△ABC的邊上一點(diǎn)，CN∥AB，DN交AC于點(diǎn)M，MA=MC．
（1）求證：四邊形ADCN是平行四邊形．
（2）如圖2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．請(qǐng)寫出圖中所有與線段AN相等的線段（線段AN除外）

Answer 1

分析 （1）由CN∥AB，MA=MC，易證得△AMD≌△CMN，則可得MD=MN，即可證得：四邊形ADCN是平行四邊形．
（2）由∠AMD=2∠MCD，可證得四邊形ADCN是矩形，又由∠ACB=90°，AC=BC，可得四邊形ADCN是正方形，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵CN∥AB，
∴∠DAM=∠NCM，
在△ADM和△CNM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAM=∠NCM}\\{MA=MC}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴MD=MN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形．

（2）解：∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MC=MD，
∴AC=DN，
∴?ADCN是矩形，
∵AC=BC，
∴AD=BD，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴?ADCN是正方形，
∴AN=AD=BD=CD=CN．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．注意證得△AMD≌△CMN與四邊形ADCN是正方形是解此題的關(guān)鍵．