Question

12．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=m，CD=n，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，AF、ED相交于點(diǎn)G，BF、CE相交于點(diǎn)H，則GH=$\frac{mn}{m+n}$．

Answer 1

分析 先由AB∥CD，得到△DFG和△EAG、△CFH△和△EBH的相似關(guān)系，從而得到FG和GA、FH和HB間的比例關(guān)系，進(jìn)而得到△GFH和△AFB間關(guān)系，利用比例表示出GH的長．

解答 解：∵AB=m，CD=n，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC=$\frac{1}{2}$n，AE=BE=$\frac{1}{2}$m．
∵AB∥CD，
∴△DFG∽△EAG，△CFH∽△EBH，
∴$\frac{FG}{GA}=\frac{DF}{AE}=\frac{n}{m}$，$\frac{FH}{HB}=\frac{FC}{EB}=\frac{n}{m}$．
∴$\frac{FG}{GA}=\frac{FH}{HB}=\frac{n}{m}，\frac{FG}{AF}=\frac{FH}{FB}=\frac{n}{m+n}$，
又∵∠GFH=∠AFB，
∴△GFH∽△AFB，
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{FG}{FA}$∴$\frac{GH}{m}=\frac{n}{m+n}$，∴$GH=\frac{mn}{m+n}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，利用了比例的性質(zhì)．定理“兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等的兩個三角形相似”，用的較少．容易想不到．