Question

7．如圖，△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使得ED=EC，ED與AC交于點(diǎn)F，則$\frac{AF}{CF}$的值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交EB于點(diǎn)G，連接AD，則G為AB的中點(diǎn)，∠EAC=∠DGE，得出DG是△ABC的中位線，由三角形中位線定理得出AC=2DG，由等腰三角形和三角形的外角性質(zhì)證出∠ACE=∠EDG，由AAS證明△ACE≌△GED，得出AE=DG，由等腰三角形得性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出DG=$\frac{1}{2}$AB=AG=BG，得出AE=AG，由平行線分線段成比例定理得出DG=2AF，因此AC=4AF，即可得出結(jié)果．

解答 解：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC，交EB于點(diǎn)G，連接AD，如圖所示：
∵D為BC中點(diǎn)，DG∥AC，
∴G為AB的中點(diǎn)，∠EAC=∠DGE，
∴DG是△ABC的中位線，
∴AC=2DG，
∵AB=AC，ED=EC，
∴∠B=∠ACB，∠EDC=∠ECD，
∵∠EDC=∠B+∠DEG，∠ECD=∠ACB+∠ACE，
∴∠ACE=∠DEG，
在△ACE和△GED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠DGE}&{\;}\\{∠ACE=∠DEG}&{\;}\\{EC=ED}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△GED（AAS），
∴AE=DG，
∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴DG=$\frac{1}{2}$AB=AG=BG，
∴AE=AG，
∵DG∥AC，
∴AF：DG=AE：GE=1：2，
即DG=2AF，
∴AC=4AF，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{1}{3}$；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題有一定難度，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．