Question

5．已知：如圖，銳角△ABC的兩條高BE，CD相交于點O，且BE=CD．
求證：（1）△ABC是等腰三角形；
（2）OD=OE．

Answer 1

分析 （1）利用HL可證明Rt△BEC≌Rt△CDB，可得∠ABC=∠ACB，由等腰三角形的判定可證明△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）可得∠OBC=∠OCB，則有OC=OB，且BD=CE，利用線段和差可得OD=OE．

解答 證明：
（1）∵BE，CD是三角形的兩條高，
∴∠BEC=∠CDB=90°，
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CB}\\{BE=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BEC≌Rt△CDB（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC為等腰三角形；
（2）由（1）可知Rt△BEC≌Rt△CDB，
∴CE=BD，∠OBC=∠OCB，
∴OC=OB，
∴BD-OB=CE-OC，
即OD=OE．

點評 本題主要考查全等三角形判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．