Question

9．如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與⊙O交于C、D兩點(diǎn)．若∠CMA=45°，則弦CD的長(zhǎng)為$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 連接OD，作OE⊥CD于E，由垂徑定理得出CE=DE，證明△OEM是等腰直角三角形，由勾股定理得出OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△ODE中，由勾股定理求出DE=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，得出CD=2DE=$\sqrt{14}$即可．

解答 解：連接OD，作OE⊥CD于E，如圖所示：
則CE=DE，
∵AB是⊙O的直徑，AB=4，點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，
∴OD=OA=2，OM=1，
∵∠OME=∠CMA=45°，
∴△OEM是等腰直角三角形，
∴OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴CD=2DE=$\sqrt{14}$；
故答案為：$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出DE是解決問題的關(guān)鍵．