Question

4．如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則MN長的最大值是$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理得到MN的長最大時(shí)，BC最大，當(dāng)BC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：如圖，∵點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$BC，
∴當(dāng)BC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，當(dāng)BC是直徑時(shí)，BC最大，
連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)C′，連接AC′，
∵BC′是⊙O的直徑，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′=$\frac{AB}{sin45°}$=$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴MN_最大=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候MN的值最大，難度不大．