Question

6．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=120°，以AB為直徑的⊙O交BC于點M，MN⊥AC于點N，圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{6}$
• B． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{4}$-$\frac{π}{12}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 先證明MN為⊙O切線，求陰影部分的面積要把它轉(zhuǎn)化成S_梯形ANMO-S_扇形OAM，再分別求的這兩部分的面積求解．

解答 解：證明：連接OM．
∵OM=OB，
∴∠B=∠OMB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴∠OMB=∠C．
∴OM∥AC．
∵MN⊥AC，
∴OM⊥MN．
∵點M在⊙O上，
∴MN是⊙O的切線；
連接AM．
∵AB為直徑，點M在⊙O上，
∴∠AMB=90°．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∴∠AOM=60°．
又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于點N，
∴∠AMN=30°．
∴AN=AM•sin∠AMN=AC•sin30°•sin30°=$\frac{1}{2}$．
∴MN=AM•cos∠AMN=AC•sin30°•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴S_梯形ANMO=$\frac{（AN+OM）•MN}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，
S_扇形OAM=$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{6}$，
∴S_陰影=$\frac{9\sqrt{3}-4π}{24}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$-$\frac{π}{6}$．
故選B．

點評 本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及扇形面積的計算，明確切線的判定即利用圖形分割法求不規(guī)則圖形面積是解題的思路．