Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，給出以下五個結(jié)論：①△PFA≌△PEB，②EF=AP，③BE²+CF²=EF²，④S_{四邊形AEPF}=

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S_△ABC，⑤PF²-AF²=AE²-PE²，當∠EPF在?ABC內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確有（　　）

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△PFA≌△PEB，則有BE=AF，可判定①②③④，利用勾股定理可判斷⑤，可得出答案．

解答：解：∵P為BC中點，
∴AP=PB，AP⊥BC，
∵∠EPF=90°，
∴∠FPA+∠APE=∠APE+∠BPE，
∴∠FPA=∠BPE，
在△PFA和△PEB中，

∠FPA=∠BPE AP=BP ∠FAP=∠B

，
∴△PFA≌△PEB（ASA），
∴①正確；
當F旋轉(zhuǎn)到點A時，EF=AB＞AP，
∴②不正確；
∵△PFA≌△PEB，
∴AF=BE，且AB=AC，
∴AE=CF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²，
∴③正確；
∵△PFA≌△PEB，
∴S_△PFA=S_△PEB，
∴S_{四邊形AEPF}=S_△ABP=

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S_△ABC，
∴④正確；
又在Rt△PEF和Rt△AEF中，
EF²=PE²+PF²=AE²+AF²，
∴PF²-AF²=AE²-PE²，
∴⑤正確；
綜上可知正確的為①③④⑤共四個，
故選C．

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)前后的線段相等、角相等是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應用．