Question

如圖，AB是⊙O的弦，點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，OC交AB于點P．
（1）判斷△CBP的形狀，并說明理由；
（2）若OP=1，PA=

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，求線段BC的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先連接OB，由點C在過點B的切線上，且OC⊥OA，根據(jù)等角的余角相等，易證得∠CBP=∠CPB，即可證得△CBP是等腰三角形；
（2）由OP=1，PA=

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，利用勾股定理可求得OA的長，然后設(shè)BC=x，可得方程：x²+3²=（x+1）²，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）△CBP是等腰三角形．
理由：連接OB，
∵BC是⊙O的切線，
∴OB⊥BC，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
∵OC⊥OA，
∴∠A+∠APO=90°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠APO=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠CPB=∠ABP，
∴CP=CB，
即△CBP是等腰三角形；

（2）∵OP=1，PA=

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，
∴OA=

PA2-OP2

=3，
∴OB=OA=3，
設(shè)BC=x，則OC=CP+OP=x+1，
在Rt△OBC中，BC²+OB²=OC²，
∴x²+3²=（x+1）²，
解得：x=4，
∴BC=4．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．