Question

15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)G，點(diǎn)F是CD上一點(diǎn)，且滿足$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，連接AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3，給出下列結(jié)論：
①△ADF∽△AED；②FG=3；③tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；④S_△ADE=6$\sqrt{5}$．
其中正確的有個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①利用垂徑定理可知$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，可知∠ADF=∠AED，結(jié)合公共角可證明△ADF∽△AED；②結(jié)合CF=2，且$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，可求得DF=6，且CG=DG，可求得FG=2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tanADG=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，且∠E=∠ADG，可判斷出③；④可先求得S_△ADF，再求得△ADF∽△AED的相似比，可求出S_△ADE=7$\sqrt{5}$．

解答 解：①∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠ADF=∠AED，且∠FAD=∠DAE，
∴△ADF∽△AED，
∴①正確；
②∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴CG=DG，
∵$\frac{CF}{FD}$=$\frac{1}{3}$，且CF=2，
∴FD=6，
∴CD=8，
∴CG=4，
∴FG=CG-CF=4-2=2，
∴②錯(cuò)誤；
③在Rt△AGF中，AF=3，F(xiàn)G=2，
∴AG=$\sqrt{A{F}^{2}-F{G}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，且DG=4，
∴tan∠ADG=$\frac{AG}{GD}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∵∠E=∠ADG，
∴tan∠E=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∴③錯(cuò)誤；
④在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{5}$，DG=4，
∴AD=$\sqrt{21}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{3}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴△ADF∽△AED中的相似比為$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{△AED}}$=（$\frac{\sqrt{21}}{7}$）²=$\frac{3}{7}$，
在△ADF中，DF=6，AG=$\sqrt{5}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AG=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{{S}_{△AED}}$=$\frac{3}{7}$，
∴S_△ADE=7$\sqrt{5}$，
∴④錯(cuò)誤；
∴正確的有①一個(gè)．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，由垂徑定理得到G是CD的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，判斷③時(shí)注意利用等角的三角函數(shù)也相等，在判斷④時(shí)求出相似比是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)注意知識(shí)的靈活運(yùn)用．