Question

10．如圖①，已知矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm．點P從點A出發(fā)，以3cm/s的速度沿AB運動：同時，點Q從點B出發(fā)，以20cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)點P、Q運動的時間為t（s）．
（1）當(dāng)t=$\frac{60}{23}$s時，△BPQ為等腰三角形；
（2）當(dāng)BD平分PQ時，求t的值；
（3）如圖②，將△BPQ沿PQ折疊，點B的對應(yīng)點為E，PE、QE分別與AD交于點F、G．
探索：是否存在實數(shù)t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由運動得出BP=BQ，求出t，即可；
（2）由PM∥AD，得出$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$，表示出PM，從而求出t，即可；
（3）先判斷出△AEP≌△FEG，表示出BH，HQ，CQ，再由勾股定理計算即可．

解答 解：（1）當(dāng)BP=BQ時，60-3t=20t，
∴t=$\frac{60}{23}$，
（2）如圖1，

過P作PM∥AD，
∴$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{PM}{90}=\frac{60-3t}{60}$，
∴PM=90-$\frac{9}{2}$t，
∵PN=NQ，PM=BQ，
∴90-$\frac{9}{2}$t=20t，
∴t=$\frac{180}{49}$，
（3）如圖2，

作GH⊥BQ，
∴PB=PF=60-3t，
∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，
∴△AEP≌△FEG，
∴PE=EG，F(xiàn)G=AP，
∴AG=PF=60-3t=BH，
∴HQ=BQ-BH=20t-（60-3t）=23t-60，
  GQ=FQ-FG=BQ-AP=17t，
根據(jù)勾股定理得，60²=（17t）²-（23t-60）²
∴t₁=4，t₂=7.5（舍），
∴t=4
∴存在t=4，使AE=EF．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，用時間t表示線段是解本題的關(guān)鍵．