Question

7．一座拱型橋，橋下水面寬度AB是16米，拱高CD是4米，大雨過后，橋下水面寬度EF是12米，求水面上漲了多少米？
（1）若把它看作是拋物線的一部分，在坐標(biāo)系中（如圖1），可設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+c，請你求出此時(shí)水面上漲了多少米？
（2）若把它看作是圓的一部分，則可構(gòu)造圖形（如圖2），請你求出此時(shí)水面上漲了多少米？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），設(shè)其頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax²+4，將點(diǎn)A或點(diǎn)B坐標(biāo)代入求得其解析式，再求當(dāng)x=6時(shí)y的值即可得答案；
（2）由垂徑定理知BC=$\frac{1}{2}$AB、PF=$\frac{1}{2}$EF，設(shè)⊙O半徑為r，在RT△OBC中根據(jù)OB²=OC²+BC²求得r的值及OC的長，再在RT△OFP中根據(jù)OF²=PF²+OP²求得OP的長，由OP-OC可得答案．

解答 解：（1）由題意可知拋物線頂點(diǎn)為（0，4），
設(shè)拋物線解析式為：y=ax²+4，
將點(diǎn)B（8，0）代入，得：64a²+4=0，
解得：a=-$\frac{1}{16}$，
∴該拋物線解析式為：y=-$\frac{1}{16}$x²+4，
當(dāng)x=6時(shí)，y=-$\frac{1}{16}$×36+4=$\frac{7}{4}$，
故水位上漲了$\frac{7}{4}$米；

（2）如圖，連接OB、OF，記EF與OD交點(diǎn)為P，

根據(jù)題意知，BC=$\frac{1}{2}$AB=8m，PF=$\frac{1}{2}$EF=6m，CD=4m，
設(shè)⊙O半徑為r，則OC=r-4，
由OB²=OC²+BC²，可得r²=（r-4）²+8²，
解得：r=10，
∴OC=6m，
在RT△OPF中，由OF²=PF²+OP²，得：10²=6²+OP²，
解得：OP=8m，
∴PC=OP-OC=8-6=2（m）
故此時(shí)水面上漲了2米．

點(diǎn)評 本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)不同條件設(shè)出合適的二次函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．