Question

13．如圖，分別以△ABC的三邊向外作等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，連接DE，EF．
（1）求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）對(duì)于任意的△ABC，?ADEF是否始終存在？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)∠DBA=∠EBC=60°，DB=BA，EB=BC，然后證明△EDB≌△CAB，進(jìn)而可得DE=AC，然后可證明AF=ED，同理可得DA=EF，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形可得結(jié)論；
（2）不一定，當(dāng)∠BAC=60°時(shí)不存在．

解答 （1）證明：∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBA=∠EBC=60°，DB=BA，EB=BC，
∴∠DBA-∠EBA=∠EBC-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△EDB和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BE}\\{∠ABC=∠DBE}\\{BD=AB}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△CAB（SAS），
∴DE=AC，
∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，
∴AF=ED，
同理可得DA=EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；

（2）解：不一定，當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，∠DAF=180°，不存在四邊形ADEF．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，關(guān)鍵是掌握等邊三角形三邊相等，三個(gè)角都是60°，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形．