Question

3．如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，CD=3，AD=4，tanB=2，過點C作CH⊥AB，垂足為H．點P為線段AD上一動點，直線PM∥AB，交BC、CH于點M、Q．設(shè)PD的長為x．
（1）求PM的長（用x表示）；
（2）若以PM為直徑的⊙O恰好過點C時，求x的值；
（3）若以PM為斜邊向下作等腰Rt△PMN，直線MN交直線AB于點E．當(dāng)點E在線段AH上時，求x的取值范圍． 

Answer 1

分析 （1）已知了PD的長為x，即CQ=x，結(jié)合∠B的正切值即可求得MQ的長，進(jìn)而由PM=PQ+MQ求得PD表達(dá)式．
（2）利用圓周角定理得到∠PCM=90°，所以在直角△PCM中，利用射影定理來求x的值即可．
（3）首先由E、A重合時求得求得KH的表達(dá)式，當(dāng)E從A移動到H時，此時K也與H重合，由此可得KH的取值范圍，聯(lián)立KH的表達(dá)式即可得到x的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1，∵∠A=90°，CH⊥AB，
∴CH∥AD，
∵CD∥AB，
∴四邊形CHAD是矩形，
∴CD=AH=3=PQ，CH=AD=4，
∵tanB=2=$\frac{CH}{BH}$，
∴BH=2，
∵PQ∥AB，
∴$\frac{QM}{BH}$=$\frac{CQ}{CH}$=$\frac{PD}{AD}$，
即$\frac{QM}{2}$=$\frac{m}{4}$，
∴OM=$\frac{1}{2}$x，
∴PM=3+$\frac{1}{2}$x．
答：PM的長是3+$\frac{1}{2}$x．

（2）如圖2，連接PC．
∵PM是直徑，
∴∠PCM=90°，
又∵CQ⊥PM，
∴CQ²=PQ•QM，即x²=3×$\frac{1}{2}$x，
解得x=1.5；

（3）如圖3，當(dāng)E、A重合時，AH=HK=3，QM=QK=$\frac{x}{2}$；
∴HK=AP-QK=（4-x）-$\frac{1}{2}$x=4-$\frac{3}{2}$x，
當(dāng)點E從點A移動到點H時，K與H重合，即0≤KH≤3；
∴0≤4-$\frac{3}{2}$x≤3，
解得：$\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{8}{3}$；
即當(dāng)點E在線段AH上時，x的取值范圍是 $\frac{2}{3}$≤x≤$\frac{8}{3}$．

點評 此題主要考查了四邊形綜合題，解題時需要用到直角梯形、等腰直角三角形、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義等知識，在涉及動點問題時，一定要注意分類討論思想的運用，以免漏解．